El Operador de Laplace Estándar

Resumen:

En general los operadores de tipo Laplace son operadores diferenciales de segundo orden, que generalizan el operador de Laplace que aprendemos en el curso básico del cálculo vectorial. Una gran variedad de operadores de tipo Laplace han surgido en el siglo pasado en el tratado de diferentes problemas en la Geometría Riemanniana: El operador de Laplace-Beltrami por ejemplo se usa como un modelo de la cuantización de campos escalares, el operador de Hodge-Laplace da origen a la teoría de Hodge, el operador de Laplace-Lichnerowicz describe las deformaciones de Einstein y el operador de Hamilton-Laplace controla la curvatura a lo largo del flujo de Ricci.

En su construcción y su interpretación los operadores mencionados son muy diferentes, por eso las y los geómetras tardaron bastante en reconocer, que todos estos operadores son de hecho realizaciones de un sólo operador natural, el operador de Laplace estándar. En un sentido bien preciso el operador de Laplace estándar es una generalización del operador de Casimir, un objeto matemático de existencia "esotérica", a la Geometría Riemanniana.

En mi plática quiero retrazar el descubrimiento del operador de Laplace estándar, empezando con la descripción de Cartan de la cohomología de De Rham de los espacios simétricos y la fórmula de Weitzenböck contemporanea, mencionado en particular la teoría de Hodge. Después construiremos la categoría de haces vectoriales geométricos asociada a una variedad Riemanniana con holonomía reducida y el operador de Laplace estándar, que es natural bajo morfismos en esta categoría. Finalmente discutiré la fórmula de conmutación que obtuve en un trabajo con mi coautor Dr. Semmelmann, que subraya en particular el punto de vista que el operador de Laplace estándar es un generalización del operador de Casimir.

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